Aljabar Dasar dan Persamaan: Materi Pengetahuan Kuantitatif UTBK

Aljabar memakai huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui. Menyelesaikan persamaan berarti mencari nilai huruf itu dengan satu prinsip: apa pun yang kamu lakukan pada ruas kiri, lakukan juga pada ruas kanan. Pelajaran ini mencakup empat bentuk yang sering dipakai di Pengetahuan Kuantitatif UTBK: persamaan linear, sistem dua persamaan, pertidaksamaan linear, dan persamaan kuadrat yang bisa difaktorkan.

Menyederhanakan bentuk aljabar

• Suku sejenis dijumlahkan: $3x + 5x = 8x$, tetapi $3x + 5y$ tidak bisa digabung.
• Sifat distributif: $a(b + c) = ab + ac$. Contoh: $3(x - 2) = 3x - 6$.
• Tanda negatif di depan kurung mengubah semua tanda di dalamnya: $-(x - 4) = -x + 4$.

Persamaan linear satu variabel

Langkah umumnya:

1. Buka kurung.
2. Kumpulkan suku yang memuat $x$ di satu ruas dan bilangan di ruas lain.
3. Bagi kedua ruas dengan koefisien $x$.
4. Periksa dengan memasukkan hasil ke persamaan awal.

Sistem persamaan linear dua variabel

Dua persamaan dengan dua variabel diselesaikan dengan menghilangkan salah satu variabel.

• Eliminasi: jumlahkan atau kurangkan kedua persamaan supaya satu variabel habis.
• Substitusi: nyatakan satu variabel dari satu persamaan, lalu masukkan ke persamaan lain.

Pertidaksamaan linear

Langkahnya sama dengan persamaan, dengan satu aturan tambahan: kalau kedua ruas dikali atau dibagi bilangan negatif, tanda pertidaksamaan dibalik.

Contoh: $-2x > 6$. Bagi kedua ruas dengan $-2$ dan balik tandanya: $x < -3$. Periksa dengan $x = -4$: $-2 \times (-4) = 8 > 6$, benar.

Persamaan kuadrat dengan faktorisasi

Untuk $x^2 + bx + c = 0$, cari dua bilangan yang hasil kalinya $c$ dan jumlahnya $b$. Kalau kedua bilangan itu $p$ dan $q$, maka $(x + p)(x + q) = 0$, sehingga $x = -p$ atau $x = -q$.

Contoh dikerjakan 1: persamaan linear

Soal. Tentukan $x$ dari $3(x - 2) + 4 = 2x + 7$.

1. Buka kurung. $3x - 6 + 4 = 2x + 7$.
2. Sederhanakan ruas kiri. $3x - 2 = 2x + 7$.
3. Kumpulkan $x$ di kiri. Kurangi kedua ruas dengan $2x$: $x - 2 = 7$.
4. Kumpulkan bilangan di kanan. Tambah kedua ruas dengan 2: $x = 9$.
5. Periksa. Ruas kiri: $3(9 - 2) + 4 = 21 + 4 = 25$. Ruas kanan: $2 \times 9 + 7 = 25$. Sama.

Jadi $x = 9$.

Contoh dikerjakan 2: sistem dua persamaan

Soal. Tentukan $x$ dan $y$ dari $2x + y = 11$ dan $x - y = 1$.

1. Pilih cara. Koefisien $y$ adalah $+1$ dan $-1$, jadi penjumlahan langsung menghilangkan $y$.
2. Jumlahkan kedua persamaan. $(2x + y) + (x - y) = 11 + 1$, sehingga $3x = 12$.
3. Hitung $x$. $x = 4$.
4. Masukkan ke persamaan kedua. $4 - y = 1$, sehingga $y = 3$.
5. Periksa di persamaan pertama. $2 \times 4 + 3 = 11$. Benar.

Jadi $x = 4$ dan $y = 3$.

Contoh dikerjakan 3: persamaan kuadrat

Soal. Tentukan nilai $x$ yang memenuhi $x^2 - 5x + 6 = 0$.

1. Cari dua bilangan. Hasil kali 6 dan jumlah $-5$: bilangan itu $-2$ dan $-3$.
2. Faktorkan. $(x - 2)(x - 3) = 0$.
3. Selesaikan tiap faktor. $x - 2 = 0$ memberi $x = 2$; $x - 3 = 0$ memberi $x = 3$.
4. Periksa. Untuk $x = 2$: $4 - 10 + 6 = 0$. Untuk $x = 3$: $9 - 15 + 6 = 0$. Keduanya benar.

Jadi $x = 2$ atau $x = 3$.

Kesalahan yang sering terjadi

• Mengalikan hanya suku pertama dalam kurung. $3(x - 2)$ adalah $3x - 6$, bukan $3x - 2$.
• Lupa mengubah tanda saat memindahkan suku. Memindahkan sama dengan menambah atau mengurangi kedua ruas.
• Tidak membalik tanda pertidaksamaan saat membagi dengan bilangan negatif.
• Mengambil hanya satu jawaban persamaan kuadrat. Biasanya ada dua nilai.
• Tidak memeriksa. Memasukkan hasil ke persamaan awal hanya butuh beberapa detik.